Janjang Geometri

Satu jujukan nombor yang mempunyai nisbah sepunya antara satu sebutan (sebutan ke-n) dengan sebutan berikutnya (sebutan ke-n+1) ialah janjang geometri.

Nisbah Sepunya

Nisbah sepunya, r, ialah hasil bahagi sebutan ke-n dengan sebutan sebelumnya (n-1), diwakili dalam bentuk persamaan berikut:

r = T_n ÷ T_n-1

Bagi contoh janjang-janjang berikut, nisbah sepunyanya ialah:

a) 2, 4, 8, … r = Tn ÷ Tn-1 r = 8 ÷ 4 Atau; r = 4 ÷ 2 Maka; r = 2

b) 8, 4, 2, … r = Tn ÷ Tn-1 r = 4 ÷ 8 Atau; r = 2 ÷ 4 Maka; d = 0.5

c) 2.0, -5.0, 12.5, … r = Tn ÷ Tn-1 r = 12.5 ÷ -5.0 Atau; r = -5.0 ÷ 2.0 Maka; r = -2.5

Sebutan

Sebutan ialah item dalam satu jujukan. Contohnya bagi jujukan 2, 4, 8, … , sebutan pertama ialah 2, sebutan kedua ialah 4, dan sebutan ketiga ialah 8.

Bagi sebutan ke-n dalam janjang geometri, ia boleh diwakili oleh persamaan berikut:

T_n = ar^n-1
a = sebutan pertama
n = nisbah sepunya

Contoh, jika n=5, maka sebutan ke-5 dalam setiap janjang-janjang berikut ialah:

a) 2, 4, 8, … T11 = 2(2)5-1 Maka; T11 = 32

b) 8, 4, 2, … T11 = 8(0.5)5-1 Maka; T11 = 0.5

c) 2.0, -5.0, 12.5, … T11 = 2.0(-2.5)5-1 Maka; T11 = 78.125

Hasil tambah n sebutan pertama

Bagi janjang berikut;

2, 4, 8, 16, 32, …

Jika sebutan pertama ditambahkan dengan sebutan berikutnya sehingga sebutan kelima, jumlahnya ialah:

2+4+8+16+32 = 62

Nilai yang didapati, 62, dipanggil sebagai hasil tambah 5 sebutan pertama, S₅.

Untuk memudahkan operasi pengiraan, hasil tambah bagi n sebutan pertama boleh dilakukan menggunakan formula ini:

S_n = a(rⁿ – 1) ÷ (r – 1), bagi r>1
S_n = a(1 – rⁿ ) ÷ (1 – r), bagi r<1
a = sebutan pertama
r = nisbah sepunya

Maka, bagi contoh yang sama di atas, hasil tambah bagi lima sebutan pertama, S₅, ialah:

S₅ = 2(2⁵ – 1) ÷ (2 – 1)
S₅ = 2(32 – 1) ÷ 1
S₅ = 2(31) ÷ 1
S₅ = 62 ÷ 1
S₅ = 62

Latihan